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学术论文

如何帮助学生“破案”--小议初中几何证明题教学

文字:[大][中][小] 2015/11/2    浏览次数:834    

 

 如何帮助学生“破案”

  ——小议初中几何证明题教学
  肥东志成双语学校   程玉宝
  由应试教育向素质教育转轨的今天,初中平面几何教学,尤其是几何证明题的教学,在培养学生逻辑思维能力方面仍担负着不可代替的作用,实践证明,要全面提高初中数学的教学质量,关键取决于教师的业务素质与教学水平。初中学生数学学习水平明显的两极分化,一般都出现在八年级的几何教学中,这种分化的原因不仅仅是由学生的智力因素造成的,而主要是教学工作的问题以及缺乏对学生的学习方法作科学的指导和启发,因此研究平面几何,尤其是几何证明题教学中的有关问题,对防止学生学习成绩的两极分化、激发学生学习数学的兴趣、培养学生一定的数学思维能力,从而提高中学数学教学质量有着十分重要的意义。本文就此谈点管窥之见。
  我在与学生交流的过程中得知,学生在学习几何证明题的过程中总是有这样的感觉:一听就懂,一看就明,一到自己做就无从下手,没有头绪。究其原因主要是几何证明题的证明主要是运用逆向思维进行合理、科学、严谨的逻辑推理,也就是说,学生在理解和记忆课本中的概念、公理、定理的基础上,在解决某一具体问题时,不知道这个问题的解决到底要用到哪些知识,以及如何运用相关的定理。我的观点就是,几何证明题的证明思路的探寻,就好比刑警在侦破案件时寻找破案线索,下面我通过具体的事例把两者放在一起作个比较来阐明我的观点:
  A
  例如,有这样一起案件:某小区母子俩在家中被杀,经过现场勘察发现门窗都完好无损,被害人都是在毫无防备的情况下被杀,并且茶几上还有一杯用一次性纸杯沏的茶。我们可以初步判断这是一起熟人作案;进一步调查发现,家中贵重财物和一些现金丢失。据此我们可以确定作案动机是谋财;通过对与这对母子俩有一定关系的人进行摸排调查发现,其中一人由于长期参与赌博而欠下一笔赌债,根据以上的案情分析,可以确定此人有重大作案嫌疑。下面,我运用类比这种案件调查的思维方法来分析这样一道证明题:已知,如图,△ABC内接于☉O,AO是半径,AD垂直于BC,D为垂足。求证:∠BAD=∠OAC.我们运用“破案”的这种思维方法来分析证明这道题,考虑到证明角相等,经常用的定理有:①等边对等角; ②平行线的性质定理;③同(等)角的余(补)角相等;④利用三角形相似或三角形全等;⑤三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及角平分线性质等。
  有关圆的证明题证明角相等,
  除了以上常用的定理,还有圆周
  角定理及其推论、直径所对的圆
  O
  周角是直角以及切线长定理,                                 ·
  C
  D
  B
  再从所要证明的结论和图形进行分析:
  从所要证的∠BAD=∠OAC来看,
  E
  ∠BAD是Rt△ABD 的一个内角(非直角),
  依据“直角三角形中两锐角互余”,并结合前面提到的定理“同(等)角的互余相等”来达到证明的目的。因此,当无法直接证明这两个角相等时可以引导学生能否通过添辅助线来构造直角三角形并能使另一对锐角相等,再依据圆周角定理,在构造直角三角形的过程中能否使图中∠B的对应角同样是弧AC所对的圆周角;另外,在圆中构造直角三角形,自然会想到“直径所对的圆周角是直角”,因此添加辅助线的方法就水到渠成了,即延长AO交☉O于点E,连接CE,如图。我把几何证明题中的已知条件和图形比作案发现场;所要证明的结论比作作案动机;由已知条件和图形的特点所想到的定理好比是破案线索;最后得到的作辅助线的方法就好比是犯罪嫌疑人。因此,几何证明题的教学重点是帮助学生如何从“案发现场”提取重要的“破案线索”,也就是如何根据已知条件和图形的特点思考可能用到哪些定理,再根据“作案动机”进行排查缩小范围以致最终确定犯罪嫌疑人,即依据所要证明的结论采用逆向思维进行推理,最终确定辅助线的作法以达到解决问题的目的。这样学生不仅知道了如何去添加辅助线来达到证明的目的,而且更加清楚的知道为什么要这样去做,也就是知其然知其所以然。
  通过以上的类比分析,我认为几何教学尤其是证明题的教学,重难点在于如何帮助学生在理解和掌握课本上的基本概念、定理的同时,还要引导和培养学生如何从已知条件、图形的特点和问题中探寻解题思路的推理能力,并在解决问题过程中要指导学生不断地反思和积累经验。具体如何在教学过程中突破这些重难点,提高学生的学习成绩、培养他们具有一定的数学素养,我认为主要从以下几个方面入手:
  1、精讲多思,循序渐进,搭台阶让学生自己往上爬。
  教学过程中,基本概念和定理一定要讲解的清楚、分析的透彻,并注重知识的前后联系性引导学生运用类比的思维自主探究新的知识,在课堂教学中要让学生主动参与到知识的探究过程,采用启发式教学,培养学生解决问题的能力和创造能力。此外,在教学过程中,当遇到某个较难的问题或知识点,为了达到教学目标和理想的效果,可以将这一目标分成若干个相互之间有紧密联系,并且有一定梯度的小目标来各个击破,步步为营,一个台阶一个台阶地逐步向前发展。具体表现在,上新课时的练习题或例题的选择和安排。我的这种教学方法是依据著名的教育心理学家维果茨基所提出的“最近发展区”理论,使学生能“跳一跳”摘到“桃子”。
  2、鼓励学生尝试失败,失败是离成功更近了一步。
  有的教师眼里见不得学生做错题目,而我却鼓励学生通过自己独立思考在新课作业中允许出现错误,但以后不要犯同样的错误就是很了不起了。试问:发明大王——爱迪生一生失败过多少次?一个举世闻名的科学家他一生曾经有过上万次的失败,在找电灯灯丝的过程中就失败过几百次,正是由于他前几百次的失败才换来“第几百加一次”的成功,每次失败都是有价值的,至少他知道这种材料不适合做电灯的灯丝。同样学生在做几何证明题寻找解题的思路也是如此,当他尝试了几次失败以后便会获得正确的证明方法。所以我认为在探寻真理的道路上没有失败,只有离成功更近一步。
  3、井挖的多而浅,不如少而深。
  有的教师为了提高学生几何学习成绩,一味采用“题海战术”,简单的认为题目做的越多,解决问题的能力就会提高,如果学生做的多而理解得少、总结的少,这样不仅会使学生感到累而且效果也不好。因为有些题目属于同一类型的,大同小异,教师应善于从几个或一些较为典型的习题进行剖析这些题的特点和规律进而总结一些证明的技巧和方法,讲解例题和习题时一定要细致、透彻,不能让学生一知半解。这就好比,如果我们把井打的很浅,即使很多也不一定有水喝,如果我们把井打深一点,哪怕再少也有源源不断的活水泉。因此在教学过程中要注意引导学生在解决问题之后,要善于反思和总结证明方法和技巧,以便在以后解决问题的时候举一反三。
  4、授之以鱼更要授之以渔
  教学的最高境界是“教是为了不教”,所以在教学过程中不仅要交给学生必要的知识,更重要的是要交给学生获得知识的方法和能力。因此,在几何证明题的教学实践中,教师要善于钻研,帮助学生总结证明的技巧和方法。例如:作辅助线遇到证明线段的和或差,通常采取延长或截取的办法,将两条线段转化到一条线段上去或利用“中介线段”。遇到中线问题经常延长中线至它的2倍以构造全等三角形来证明线段或角相等。又如,直接证明线段相等的方法有:①证明三角形全等;②利用“等角对等边”;③利用角平分线定理;④利用线段的垂直平分线定理;⑤利用找“中间线段”过渡;⑥利用找相等内(外)项的比例式等等。此外,还应引导和鼓励学生一题多解,拓宽思路。
  总之,初中几何证明题的教学,不仅要向学生传授基本概念和定理,即给“鱼”给学生吃;而且还要培养学生寻找证明思路的能力,努力使他们掌握解决几何证明题的技巧和方法,也就是要教给学生“捕鱼”之术,这不仅活跃了学生的思维,提高了学生的数学素养,更为他们的终身学习奠定了坚实的基础。只要我们教师加强教学研究,发扬创新精神,坚持以人为本的思想,发挥学生的主体作用,一切问题都将会迎刃而解。
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